ggT und kgV berechnen
ggT und kgV berechnen für zwei oder mehr Zahlen: größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches mit euklidischem Algorithmus als Rechenweg.
| Schritt | Division mit Rest |
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ggT und kgV mit Rechenweg
Mit diesem Rechner können Sie ggT und kgV berechnen, für zwei oder beliebig viele ganze Zahlen. Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Zahl, die alle Eingaben ohne Rest teilt, ggT(84, 36) = 12. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste positive Zahl, die durch alle Eingaben teilbar ist, kgV(84, 36) = 252. Für zwei Zahlen gilt: ggT mal kgV ergibt das Produkt der beiden Zahlen.
Berechnet wird mit dem euklidischen Algorithmus: Man teilt die größere Zahl durch die kleinere, ersetzt dann die größere durch den Divisor und den Divisor durch den Rest, bis der Rest null ist. Der letzte Divisor ist der ggT. Die Tabelle zeigt jeden Schritt, etwa 84 = 2 × 36 + 12 und 36 = 3 × 12 + 0. Zusätzlich liefert der erweiterte euklidische Algorithmus die Koeffizienten aus dem Lemma von Bézout. Ein ggT-Rechner ist auch beim Bruch kürzen nützlich: Zähler und Nenner werden durch ihren ggT geteilt, aus 84/36 wird 7/3.
Das kgV braucht man etwa beim Addieren von Brüchen (Hauptnenner), bei Zahnrad-Übersetzungen oder bei Fahrplänen, die sich wiederholen. Gerechnet wird mit BigInt, sehr große Zahlen sind also kein Problem. Negative Zahlen werden als Betrag behandelt. Die Primfaktoren einzelner Zahlen zeigt die Seite Primzahl prüfen.
Anleitung: ggT und kgV berechnen in 4 Schritten
- Zwei oder mehr ganze Zahlen eingeben, getrennt durch Komma oder Leerzeichen, oder ein Beispiel wie „84 und 36“ laden.
- ggT und kgV im Ergebnis ablesen.
- In der Tabelle zum euklidischen Algorithmus jeden Schritt der Division mit Rest nachvollziehen.
- Mit „Ergebnis kopieren“ übernehmen.
Typische Anwendungsfälle
- Brüche kürzen, indem Zähler und Nenner durch ihren ggT geteilt werden.
- Den Hauptnenner beim Addieren von Brüchen über das kgV finden.
- Hausaufgaben und Rechenwege zum euklidischen Algorithmus kontrollieren.
- Wiederkehrende Abstände bestimmen, etwa wann sich zwei Fahrpläne oder Zahnräder wieder treffen.
Häufige Fragen
Wie berechne ich den ggT von zwei Zahlen?
Mit dem euklidischen Algorithmus: größere durch kleinere Zahl teilen, mit Divisor und Rest weitermachen, bis der Rest 0 ist. Der letzte Divisor ist der ggT.
Wie hängen ggT und kgV zusammen?
Für zwei positive Zahlen a und b gilt kgV(a, b) = a × b ÷ ggT(a, b). Für 84 und 36: 3024 ÷ 12 = 252.
Wie berechne ich ggT und kgV für mehr als zwei Zahlen?
Schrittweise: zuerst für die ersten beiden Zahlen, dann das Ergebnis mit der dritten und so weiter. Der Rechner macht das automatisch für alle Eingaben.
Was bedeutet teilerfremd?
Zwei Zahlen sind teilerfremd, wenn ihr ggT 1 ist, etwa 8 und 15. Ein Bruch aus teilerfremden Zahlen lässt sich nicht weiter kürzen.
Wie berechne ich das kgV mit Primfaktorzerlegung?
Zerlegen Sie jede Zahl in Primfaktoren und nehmen Sie jeden Primfaktor mit der höchsten vorkommenden Potenz. Für 84 = 2² · 3 · 7 und 36 = 2² · 3² ergibt das 2² · 3² · 7 = 252.
Was ist der ggT von 0 und einer Zahl?
Der ggT von 0 und n ist n selbst, denn jede Zahl teilt 0. Der ggT von 0 und 0 ist nicht sinnvoll festgelegt und wird meist als 0 definiert.
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